蒙提霍爾問題：三門困境

想像你參與一場遊戲，面前有三扇門，其中一扇藏著獎勵，而另兩扇則藏著懲罰 items。根據統計，你選擇任何一扇門的獲勝幾率都相同，為 33%。選擇之後，遊戲主持人打開一扇有懲罰 items 的門，並詢問你是否要切換選擇。依照邏輯，更換選擇的獲勝幾率將提高至 66%。這稱為蒙提霍爾問題，也常被戲稱為山羊問題或三門問題。

蒙提霍爾問題的根源源自 19 世紀晚期的貝特朗盒悖論，後來被應用於電視遊戲。主持人在節目中通常會打開一扇懲罰 items 的門，增加刺激，但禁止參賽者更換選擇。

換門的獲勝優勢

在蒙提霍爾問題中，主持人開啟懲罰 items 門的行為並未改變獲獎門的位置。因此，一開始選擇獲獎門和選擇懲罰 items 門的幾率仍為 33%。

換句話説，一開始選擇懲罰 items 門的幾率為 66%。當主持人開啟另一扇懲罰 items 門時，你轉向另一扇門的獲勝幾率就等於你最初選擇獲獎門的幾率，即 33%。

逆向思考

從主持人的角度，不論參賽者最初選擇如何，換門總能增加獲勝幾率。若參賽者最初選擇懲罰 items，換門將 100% 獲獎；若最初選擇獲獎門，換門則 0% 獲獎。由於選擇懲罰 items 的幾率為 66%，因此換門總能帶來更好的結果。

其他解法

• 初始選擇懲罰 items 的機率： 66%（原先 2/3）
• 換門後選擇懲罰 items 的機率： 33%（原先 1/3）
• 初始選擇獲獎門的機率： 33%（原先 1/3）
• 換門後選擇獲獎門的機率： 66%（原先 2/3）

表：獲勝幾率

三道門問題：機率與邏輯的博弈

三道門問題是一個著名的機率與邏輯問題，其情節如下：

身處一個有 3 道門的房間，其中一道門後有汽車，另外兩道門後是山羊。主持人會隨機打開一道有山羊的門，然後詢問您是否要保持原來的選擇或改選另一扇門。

問題在於，如果堅持原先選擇的門，是否更有可能贏得汽車？還是改選另一道門會增加獲獎機率？

以下是問題的詳細分解：

步驟 1：隨機選擇一道門

您有 1/3 的機率選到有汽車的門。

步驟 2：主持人打開一道有山羊的門

因為主持人知道您選擇的門後是汽車或山羊，所以他們必定會打開另一扇有山羊的門。此時有兩種可能的情況：

步驟 3：您保持原先選擇或改選

維持原先選擇：您有 1/3 的機率選擇到汽車，因為主持人只打開了另一道有山羊的門。

改選另一道門：您有 2/3 的機率贏得汽車，因為主持人已經排除了一道有山羊的門。

結論：

從機率的角度來看，放棄原先選擇並改選另一道門會增加您獲獎的機率。這似乎違背直覺，但這是由於主持人已經提供了額外資訊（即排除一道有山羊的門）。

延伸閲讀…

換？還是不換？

三門問題_百度百科

表格總結：