幾何中的八邊形
八邊形，又稱八角形，是一種由八條邊和八個頂點形成的多邊形。它的內角和為 1080 度。根據角的性質，八邊形可分為凸八邊形和非凸八邊形。凸八邊形是指所有內角均小於 180 度。非凸八邊形則可進一步分為凹八邊形和星形八邊形。星形八邊形是邊自我相交的八邊形。
任何八邊形都可以分割成六個三角形，每個三角形的內角和為 180 度。因此，所有八邊形的內角和均為 1080 度。多邊形的外角和等於 360 度，因為多邊形的邊可以首尾相連形成一個圓。
如果在任意八邊形的每一條邊上構造一個邊長與原始八邊形相同的正方形，這些正方形必須都在八邊形的內側或外側。則每個正方形與相對正方形的幾何中心連線的中點形成的四邊形具有垂直且相等的對角線。
任意八邊形的中點八邊形由連接相鄰邊的中點形成。類似的，每個邊上構造一個邊長與原始八邊形相同的正方形。這些正方形必須都在中點八邊形內側或外側。同樣，每個正方形與相對正方形的重心連線的中點形成的四邊形為正方形。
正八邊形
正八邊形是一種特殊的八邊形，其所有邊和角都相等。它可以看作是八條相同長度的邊和八個相同角度構成的圖形。正八邊形的內角為 135 度。在施萊夫利符號中表示為 {8}。
對於一個給定邊長為 a 的正八邊形：
- 面積：
- 以邊長表示：S = (2 + √2) a²
- 以外接圓半徑 R 表示：S = 4R²
- 以內切圓半徑 r 表示：S = 8r²
其中 S 表示八邊形的寬度，等於較短對角線的長度。
正八邊形的性質
- 內角和為 1080 度
- 外角和為 360 度
- 各邊長相等
- 各內角相等
- 可以分割成兩個梯形和一個矩形
- 任何八邊形的中點八邊形都是一個正方形
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八角形面積：公式、推導與實例運算
八角形是一種具有八條邊和八個角的多邊形，其面積計算公式為：
A = (1 + √2)a²
其中：
- A 為八角形面積
- a 為八角形邊長
面積推導
以下提供八角形面積公式的幾何推導：
- 將八角形分解為兩個等腰三角形和一個正方形：
[圖示]
- 兩個等腰三角形的面積為：
2 × (1/2) × a × (a/√2) = a²√2
- 正方形的面積為：
a²
- 八角形的面積為等腰三角形面積和正方形面積之和：
A = a²√2 + a² = (1 + √2)a²
應用實例
假設一個八角形邊長為 10 公分，其面積為：
表格摘要
下表總結了八角形面積公式和相關資訊：
| 公式 | 變數 | 描述 |
|---|---|---|
| A = (1 + √2)a² | A：面積 | a：邊長 |
注意事項
- 八角形面積公式適用於正八角形，即所有邊長和內角都相等的八角形。
- 如果八角形不規則，則需要使用更複雜的方法來計算面積，例如三角剖分法。